用线段树写Dijkstra!!
众说周知,Dijkstra是一种最短路算法,复杂度为O(V^2+E)
朴素Dijkstra
void Dijikstra(int s){
memset(dis,inf,sizeof(dis));
dis[s]=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
int maxs=inf,u=0;
for(int j=1;j<=n;++j)
if(!vis[j]&&dis[j]<maxs)
maxs=dis[j],u=j;
vis[u]=1;
for(int e=pre[u];e;e=nx[e]){
const int v=to[e];
if(dis[v]>dis[u]+w[e])
dis[v]=dis[u]+w[e];
}
}
}
其实对于稠密图它还是很棒了。
但我们不满足于此。
常见优化-heap优化
这里我们采用STL_priority_queue进行优化
typedef pair<int,int> p;
priority_queue<p,vector<p>,greater<p> > q;
void Dijkstra(int s){
memset(dis,inf,sizeof(dis));
dis[s]=0;
q.push(p(0,s));
while(!q.empty()){
const int u=q.top().second;
q.pop();
if(!vis[u]){
vis[u]=1;
for(int e=pre[u];e;e=nx[e]){
const int v=to[e];
if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+w[e])
dis[v]=dis[u]+w[e],
q.push(p(dis[v],v));
}
}
}
}
这样的话复杂度就到了O((V+E)logV)
但是,常数大。
手写堆比较复杂,不现实。
奇怪的优化-线段树优化
这并不是自己发现的,但是网上资料少就记录一下吧。 我们回头看看朴素的Dijkstra以及priority_queue优化。 发现优化的主要思路就是减少了查询当前dis最小点的复杂度。 那么也很容易想到用线段树来维护dis的最小值吧。 这样问题就变成了 整体最小值与单点修改,很简单的线段树操作吧。
int tree[N<<2],leaf;
/*线段树存的是点的标号*/
int check(int i,int j){
return dis[i]<dis[j]?i:j;
}
void build(){
memset(dis,inf,sizeof(dis));
for(leaf=1;leaf<=n;leaf<<=1);--leaf;
for(int i=1;i<=n;++i) tree[leaf+i]=i;
}
/*修改 dis[x] 为 y*/
void change(int x,int y){
dis[x]=y,x+=leaf,x>>=1;
while(x) tree[x]=check(tree[x<<1],tree[x<<1|1]),x>>=1;
}
void Dijkstra(int s){
build();
dis[s]=0;
int u=s;
for(int i=1;i<=n;++i){
ans[u]=dis[u];
change(u,max_int); /*删除u*/
for(int e=pre[u];e;e=nx[e]){
const int v=to[e];
if(dis[v]>ans[u]+w[e])
change(v,ans[u]+w[e]);
}
u=tree[1];
}
}
这个比堆短吧。
而且非递归的线段树常数也很小呢。
测试&总结
以luogu的单源最短路模板题(稀疏图,无O2)作为测试。
朴素的Dijkstra 2000+ms
Dijkstra+priority_queue 652ms
Dijkstra+线段树 192ms
然后加了SLF和LLL的SPFA也很快,大概300ms
所以SPFA和Dijkstra+priority_queue是很实用的,但如果想卡排名的话可以试一试线段树啊